معلومات مهمة في الاحصاء

الإحصاء التربوي الوصفي
د/ محمد الدسوقي
المحاضرة الأولى : مفاهيم إحصائية
معني الإحصاء : هي لغة العد والأرقام وعرض البيانات وتنظيمها وتبويبها
أنواع الإحصاء التي سيتم دراستها : إحصاء وصفي - إحصاء استدلالي
أنواع العينات حسب العدد : صغيرة - متوسطة - كبيرة ، وعدد أفراد العينة عنصر مؤثر في اختيار نوع الإحصاء
( إحصاء بارا متري - إحصاء لا بارا متري )
تعريف المتغير : هو العنصر الموجود داخل مجموعة تتغير فيما بينها أو هو اختلاف عناصر فئة معينة وعند
تحديدها وتثبيتها تصبح ثابتة
مثال : الإنسان من ناحية صفة النوع ( ذكور - إناث ) متغير ، ولكن عند تحديد الذكور فقط تصبح الصفة ثابتة وهي
صفة الذكورة
تصنيف المتغيرات :
1- حسب طريقة التعبير عن المتغير :
• متغيرات نوعية أو كيفية أو لفظية حرفية :
وفيها يتم التعبير عن المتغير في صورة ألفاظ وحروف فقط مثل التعبير عن التحصيل بـ ممتاز أو جيد أو مقبول كذلك التعبير عن المناخ بـ بارد أو معتدل أو حار ، والتعبير عن الملابس بـ ثقيلة أو متوسطة أو خفيفة
• متغيرات كمية رقمية :
وفيها يتم التعبير عن المتغير في صورة عددية ورقمية فقط مثل التعبير عن التحصيل بـ 85٪ أو 90٪ أو التعبير عنه باستخدام الدرجات ، كذلك يمكن التعبير عن المناخ بدرجات الحرارة مثل 25 مئوية ، كما يمكن استخدام الأرقام للدلالة على الأسماء مثل أرقام المدرجات في الكلية ، أي أن الرقم يشير إلى اسم المدرج فقط
2- حسب قيمة المتغير :
• متغيرات منفصلة :
وفيها يتم التعبير عن المتغير بأعداد صحيحة منفصلة لا يوجد بينها تداخل مثل فئة الأعداد 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ..... كذلك التعبير عن المناخ بدرجة الحرارة 20 م
• متغيرات متصلة :
وفيها يتم التعبير عن المتغير بأعداد عشرية أو كسرية متصلة مثل التعبير عن الكتلة بـ 12.4 كجم أو التعبير عن التحصيل كدرجة بـ 34.5 أو التعبير عن المناخ كدرجة حرارة بـ 22.5م
3- حسب موقع المتغير من البحث أو التجربة :
• متغير مستقل : هو المتغير الذي يمكن للباحث التحكم فيه وهو صاحب التأثير الرئيسي والأساسي والمسبب للناتج
• متغير تابع : وهو المتغير الذي نرصد ونترقب التغير الحادث فيه تبعا للمتغير المستقل وهو صاحب التغير الناتج
• متغير دخيل : هو متغير له أثر في التجربة أو البحث وليس من ضمن المتغيرات المستقلة أو التابعة لأنه ليس
محورا للدراسة ولكنه قد يؤثر فيها لذا يجب تثبيته
والأسئلة في هذا الجزء تكون تطبيقية وتأتي كما يلي :
س : صنف المناخ والملابس حسب طريقة تصنيف المتغيرات .
حسب طريقة التعبير عن المتغير :
- المناخ متغير نوعي وذلك بالتعبير عنه بالألفاظ ( بارد - معتدل - حار )
- المناخ متغير كمي وذلك بالتعبير عنه بالأرقام كدرجة حرارة 28م
- الملابس متغير نوعي وذلك بالتعبير عنها بالألفاظ ( ثقيلة - متوسطة - خفيفة )
- الملابس متغير كمي وذلك بالتعبير عنها بالأرقام (1 يشير للملابس للثقيلة ، 2 تشير للمتوسطة ، 3 تشير للخفيفة)
حسب قيمة المتغير :
- المناخ كمتغير كمي رقمي يمكن أن يكون منفصل وذلك بالتعبير عنه بدرجة حرارة 26م
- المناخ كمتغير كمي رقمي يمكن أن يكون متصل وذلك بالتعبير عنه بدرجة حرارة 24.5م
- المناخ كمتغير نوعي لفظي لا يمكن التعبير عنه حسب قيمة المتغير
- الملابس كمتغير كمي يمكن أن تكون منفصلة وذلك بالتعبير عنها بـ ( 1 ، 2 ، 3 )
- الملابس كمتغير نوعي لفظي لا يمكن التعبير عنها حسب قيمة المتغير
حسب موقع المتغير من البحث أو التجربة :
- المناخ متغير مستقل يؤثر في الملابس
- الملابس متغير تابع تتأثر بالمناخ
- المدفأة أو التكييف متغير دخيل يؤثر في الملابس ولكنه ليس محورا للدراسة
س : صنف المتغيرات في الحالات الآتية:
مدى تحصيل الطلبة من البنين والبنات في مدرسة ما.
- مدى التحصيل ( كمي أو كيفي حسب طريقة التعبير عنه - منفصل أو متصل حسب قيمته - تابع )
- الجنس ( كمي أو كيفي حسب طريقة التعبير عنه - منفصل - مستقل )
- مدرسة ما ( كيفي - منفصل - دخيل ) ملحوظة : يجب التعليل لكل إجابة
اكتب أحد المتغيرات في الموقف الامتحاني الذي أنت فيه وصنفه.
درجة صعوبة الاختبار هي متغير في الموقف الامتحاني وتصنيفه كالآتي :
- درجة صعوبة الاختبار متغير نوعي وذلك بالتعبير عنه بـ ( سهل - متوسط - صعب )
- درجة صعوبة الاختبار متغير كمي منفصل وذلك بالتعبير عنه بـ (1 يشير للسهل ، 2 تشير للمتوسط ، 3 تشير للصعب)
- المذاكرة متغير مستقل يؤثر في درجة صعوبة الاختبار
- درجة صعوبة الاختبار متغير تابع يتأثر بالمذاكرة
- الدرس الخصوصي متغير دخيل يؤثر في درجة صعوبة الاختبار ولكنه ليس محورا مباشرا للدراسة
فكر وكأنك في موقف الامتحان وقم بإضافة أحد المتغيرات التي توجد في هذا الموقف وصنفه

المحاضرة الثانية : تابع مفاهيم إحصائية ( مستويات القياس )
معناها - أمثلة على كل منها - العمليات الحسابية المسموح بها داخل كل مستوى
القياس : هو استخدام الأرقام للدلالة على صفة معينة وفق قواعد موضوعية متعارف ومتفق عليها
مثال : ما معني أن ارتفاع الباب 2متر؟
معنى ذلك أننا لو قمنا بقياس ارتفاع الباب وفق قواعد القياس المتفق عليها لوجدناه 2متر
مستويات القياس : هي طرق استخدام الأرقام للدلالة على صفة معينة وفق قواعد موضوعية متعارف ومتفق عليها
ما هي طرق استخدام الأرقام ؟ طرق استخدام الأرقام هي مستويات القياس وتصنف إلى :
1- المستوى الاسمي :
المعني : هو الذي تستخدم فيه الأرقام للتعبير عن الأسماء فقط وليس لها دلالة سوى أنها تدل على الأسماء
أمثلة : أرقام الجلوس والرقم القومي وأرقام المدرجات والفصول وأرقام لاعبين كرة القدم وأرقام السيارات
العمليات الرياضية : لا توجد أية عمليات رياضية يمكن إجرائها في هذا المستوى
2- المستوى الرتبي :
المعنى : هو الذي تستخدم فيه الأرقام كرتب
أمثلة : ترتيب درجات الاختبار أو ترتيب الطلاب حسب التقديرات أو ترتيب الطلاب حسب السن
العمليات الرياضية : المقارنة ( المفاضلة والترتيب )
3- المستوى الفتري :
المعني : هو الذي تنتمي له كل الخصائص التي لها صفر نسبي افتراضي
أمثلة : التحصيل - الذكاء - درجة الحرارة ، فعندما يكون أي منهم مساوي للصفر فذلك لا يدل على انعدام الصفة نهائيا ولكن تكون معدومة نسبيا فلو قلنا أن طالب درجته في التحصيل صفر فذلك ليس معناه أن ليس لديه أي تحصيل ولكن الاختبار جاء في الأجزاء التي لم يتم تحصيلها بينما الأجزاء التي تم تحصيلها لم تأتي في الاختبار
العمليات الرياضية : المقارنة والجمع والطرح
4- المستوى النسبي :
المعنى : هو الذي تنتمي له كل الخصائص التي لها صفر مطلق حقيقي
أمثلة : عدد الأشياء - الوزن - المسافة - السرعة ، فعندما يكون أي منهم مساوي للصفر فذلك يدل بالفعل على الانعدام الحقيقي المطلق للصفة فلو قلنا أن عدد التلفازات الموجودة في المدرج صفر فهذا يعني أنه لا يوجد تلفازات
العمليات الرياضية : المقارنة والجمع والطرح والضرب والقسمة
ملحوظة : كل مستوى يأخذ العلميات الرياضية للمستوى الذي قبله ويزيد عليها عمليات رياضية جديدة ، المستوى النسبي لا يأخذ الصفر النسبي ولكن يأخذ الصفر المطلق ، والمستوى الفتري يأخذ الصفر النسبي
• الصفر النسبي الافتراضي :
هو صفر لا يدل على انعدام الصفة المقاسة مثل صفر درجة الحرارة ومثل صفر في التحصيل
• الصفر المطلق الحقيقي :
هو صفر يدل على انعدام الصفة المقاسة تماما مثل السرعة أو الكتلة أو عدد الأشياء عندما تساوي صفر

س : حصلت في مادة على 70 درجه وزميلك حصل على 35 درجة . فهل يكون تحصيل زميلك نصف تحصيلك؟
الإجابة : لا
التعليل : التحصيل هو الصفة المقاسة وله صفر نسبي افتراضي ولذلك فهو يقع في المستوى الفتري والعمليات المسموح بها في هذا المستوى هي المقارنة والجمع والطرح فقط وعند قسمة تحصيل زميلي على تحصيلي يعطي نصف ولكن هذا غير ممكن حيث أن القسمة غير مسموح بها في هذا المستوى

س : إذا كنت تمتحن باللجنة 10 ويمتحن زميلك باللجنة 5 لذا تمثل لجنة زميلك 1/2 لجنتك
الإجابة : خطأ
التعليل : رقم اللجنة يدل على اسم اللجنة فقط ولذلك فهو ينتمي للمستوى الاسمي وفيه لا يسمح بأي من العمليات الحسابية ومنها القسمة المستخدمة بالسؤال

القياس والإحصاء :
إن القياس هو استخدام الأرقام للدلالة على صفة معينة وفق قواعد موضوعية متفق ومتعارف عليها ، فالقياس يستخدم الأرقام وتنتج منه أرقام ، والإحصاء تتعامل مع الأرقام الناتجة من القياس فالعلاقة بينهما علاقة تتابعيه

علاقة مستويات القياس بالإحصاء: مستويات القياس المستخدمة تحدد الأساليب الإحصائية الملائمة للتعامل مع الأرقام الناتجة من القياس

التمييز بين نوعي الإحصاء ( علاقتهما بمستويات القياس وحجم العينة ) :

نوع الإحصاء حجم العينة مستويات القياس توافر الشروط
بارا متري كبير 30 طالب فأكثر الفتري - النسبي يجب توافر الشرطين
لا بارا متري صغير أقل من 30 طالب الاسمي - الرتبي توافر شرط واحد على الأقل



المحاضرة الثالثة : طرق عرض البيانات والتمثيل البياني

- يختلف عرض البيانات حسب مستوى القياس ، وتسجيل البيانات إما أن يكون نوعي لفظي أو كمي رقمي
- عرض وتمثيل البيانات ( مستوى اسمي - مستوى رتبي - مستوى فتري - مستوى نسبي )
- لسهولة عرض وتمثيل البيانات نستخدم : عرض البيانات في جداول - التمثيل البياني لها برسوم بيانية
ملحوظة : المطلوب في المقرر الطرق الجدولية فقط أما الطرق البيانية لزيادة المعرفة
1- عرض البيانات وتمثيلها في المستوى الاسمي :
البيانات في المستوى الاسمي :
شكلها : بها تكرار فقط بدون ترتيب
أمثلة : عدد الطلاب الإناث في فرقة معينة 375 طالبة ، عدد طلاب قسم المناهج في الكلية 250 طالب وطالبة
الأساليب الإحصائية : نستخدم المنوال فقط ولا نستخدم المتوسط الحسابي ولا الوسيط





















2- عرض البيانات وتمثيلها في المستوى الرتبي :
البيانات في المستوى الرتبي :
شكلها : بها تكرار بالإضافة إلى الترتيب والبيانات تدل على الرتبة وهذا هو الفرق الأساسي بين الرتبي والاسمي
أمثلة : ترتيب التقديرات تنازليا أو تصاعديا ، ترتيب فرق الكلية ( الأولى - الثانية - الثالثة - الرابعة )
الأساليب الإحصائية : نستخدم الوسيط والمنوال فقط ولا نستخدم المتوسط الحسابي
ملحوظة : عرض البيانات وتمثيلها في المستوى الرتبي مثل المستوى الاسمي مع فارق واحد وهو مراعاة الترتيب ، وإذا تم التعامل مع البيانات كرتب فيجب الترتيب أما إذا تم التعامل معها كفئات مستقلة فالترتيب غير ضروري

3- عرض البيانات وتمثيلها في المستوى الفتري والنسبي :
البيانات في مستويي الفترة والنسبة :
شكلها : بها تكرار وترتيب بالإضافة إلى العمليات الحسابية
أمثلة :
الأساليب الإحصائية : نستخدم المنوال والوسيط والمتوسط الحسابي

الجداول التكرارية : الجدول التكراري يتكون من عمودين الأول للفئات والثاني للتكرار ويتميز بوجود شرطة في كل فئة ، ووجود تكرار أمام كل فئة
أنواع الجداول التكرارية : عادية - تكرارية ( متجمع صاعد - متجمع نازل )
المدى = أكبر درجة - أصغر درجة + 1
عدد الفئات المناسب عادة من 8 إلى 12
المدى = عدد الفئات × طول الفئة
طول الفئة = المدى / عدد الفئات ويقرب الناتج لأكبر عدد صحيح
ويجب أن يكون عدد الفئات × طول الفئة ≥ المدى وليس العكس
ملحوظة : كلما زاد عدد الفئات اقترب من عدد الدرجات وهذا لا يصح ، كذلك إذا قل عدد الفئات حدث تكدس في الفئة الواحدة وهذا أيضا لا يصح ، لذلك يجب اختيار عدد الفئات بحيث يكون مناسب
- طرق كتابة الفئات : 2 - 5 أو - 5 أو 2 -
- طرح بدايتي فئتين متتاليتين أو نهايتي فئتين متتاليتين أو بداية ونهاية نفس الفئة يعطي طول الفئة

الحدود الظاهرية المنفصلة والحدود الحقيقية المتصلة :
حدود ظاهرية منفصلة حدود حقيقية متصلة

لتحويلها إلى حدود متصلة متلاصقة نقسم الفاصل على 2 وكل مجموعة
يضاف لها هذا النصف لتصبح


مثال : أمامك درجات 25 طالبا في مادة الإحصاء التربوي للدبلوم الخاص وكانت الدرجة العظمي 20
18 17 9 2 19
3 11 10 14 7
5 19.5 14 20 9
7 3 2 11 13
8 16 17 16 10
والمطلوب عرض وتمثيل هذه البيانات ( جدول تكراري ثم جدول تكراري صاعد ونازل وتمثيلها بيانيا )
المدى = أكبر درجة - أصغر درجة + 1 = 20 - 2 + 1 = 19
عدد الفئات المناسب من 8 إلى 12 ولنختار عدد الفئات = 8
طول الفئة = المدى / عدد الفئات = 19 / 8 = 2.375 ≈ 3

المجموعات أو الفئات العلامات التكرار
صفر- 3 // 2
3 - 6 /// 3
6 - 9 /// 3
9 - 12 //// /
6
12 - 15 /// 3
15 - 18 //// 4
18 - 21 //// 4
المجموع 25
في الصاعد نقول أقل من الحد الأعلى للفئة ونبدأ جمع التكرارات من أعلى لأسفل ، وفي النازل نقول أكبر من الحد الأدنى للفئة ونبدأ جمع التكرارات من أسفل لأعلى







المحاضرة الرابعة : التمثيل البياني

 المدرج التكراري يرسم بمعلومية الفئات نفسها وليست مراكز الفئات
 المضلع التكراري والمنحنى التكراري والمنحنيان المتجمعان الصاعد والهابط يرسموا بمعلومية مراكز الفئات











المقرر : مفاهيم إحصائية - عرض البيانات وتمثيلها ( جدول تكراري - جدول تكراري متجمع صاعد - جدول تكراري متجمع نازل - بيانيا ) - مقاييس النزعة المركزية - مقاييس التشتت - الاختلافات في المتغيرات
مقاييس النزعة المركزية : معناها - حسابها
النزعة : هي مؤشرات ميل الدرجات إلى التجمع
- إذا كان التجمع حول المركز سميت نزعة مركزية
- إذا كان التجمع حول أحد الطرفين سمي تشتت
مستوى القياس مقاييس النزعة المركزية المناسبة
الاسمي المنوال فقط
الرتبي الوسيط والمنوال
الفتري والنسبي المتوسط والوسيط والمنوال
علاقة النزعة المركزية بمستويات القياس :
- المستوى الاسمي تستخدم فيه الأرقام كأسماء والأرقام الكسرية العشرية ليس لها معنى في هذا المستوى لأنه لا يصح أن نقول مثلا الصف الدراسي 1.5 الإعدادي أو أن عدد الطلاب 30.8 طالب
- لا يمكن الاستغناء عن أي من المقاييس ، فكل مقياس له استخدام مختلف
 المتوسط الحسابي :
تعريفه :هو الدرجة التي لو أخذها كل طالب بدل من درجته الأصلية لحصلنا على نفس المجموع الأصلي للدرجات
طرق حسابه : من مفردات ( درجات خام غير مرتبة ) - من بيانات مبوبة ( جدول تكراري )
أولا : من مفردات
مثال : احسب المتوسط الحسابي للدرجات : 5 ، صفر ، 4 ، 3 ، 8
المتوسط الحسابي = مجموع الدرجات / عدد الدرجات = ( 5 + صفر + 4 + 3 + 8 ) / 5 = 20/5 = 4
وتفسير ذلك أنه لو ترك كل طالب درجته وأخذ بدل منها الدرجة 4 لكان مجموع الدرجات هو نفسه 20
ثانيا : من جدول تكراري ( الطريقة العادية - طريقة الانحرافات المختصرة )
مثال : الجدول التالي يمثل عرضا لدرجات خمسة وعشرين طالبا في اختبار درجته العظمى هي 20 درجة ومطلوب منك حساب المتوسط الحسابي بالطريقة العادية ثم بطريقة الانحرافات المختصرة .
المجموعة 3- 6- 9- 12- 15- 18- المجموع
التكرار 2 4 5 9 4 1 25

مركز الفئة = ( الحد الأدنى للفئة + الحد الأعلى للفئة ) / 2
مثلا مركز الفئة الأولى = ( 3 + 6 ) / 2 = 9 / 2 = 4.5
ومركز الفئة الثانية = ( 6 + 9 ) / 2 = 15 / 2 = 7.5
ومركز الفئة الأخيرة = ( 18 + 21 ) / 2 = 39 / 2 = 19.5
ونلاحظ مما سبق أن طول كل فئة = الحد الأعلى للفئة - الحد الأدنى للفئة = 6- 3 = 9 - 6 = ..... = 3
ولذلك يمكن حساب مركز الفئة الأولى فقط ثم بعد ذلك نضيف كل مرة طول الفئة لنحصل على مراكز الفئات

الطريقة العادية : الجدول المستخدم لحساب المتوسط الحسابي بالطريقة العادية يتكون من أربعة أعمدة ( الفئات - مراكز الفئات م - التكرار ك - حاصل ضرب مراكز الفئات في تكراراتها )
الفئات مراكز الفئات ( م ) التكرار ( ك ) م × ك
3- 4.5 2 4.5 × 2 9
6- 7.5 4 7.5 × 4 30
9- 10.5 5 10.5 × 5 52.5
12- 13.5 9 13.5 × 9 121.5
15- 16.5 4 16.5 × 4 66
18- 19.5 1 19.5 × 1 19.5
المجموع 25 298.5
مجـ ( م × ك ) 298.5
الوسط الحسابي ( س ) = = = 11.94
مجـ ك 25
طريقة الانحرافات المختصرة : ( أهم طريقة ) : الجدول المستخدم لحساب المتوسط الحسابي بطريقة الانحرافات المختصرة يتكون من خمسة أعمدة ( الفئات - مراكز الفئات م - التكرار ك - الانحرافات ح - حاصل ضرب التكرارات في الانحرافات)
- نأخذ مركز الفئة صاحبة أكبر تكرار أو أي مركز فئة كوسط فرضي ونضع أمامه صفر في عمود الانحرافات
- نحسب انحرافات الفئات عن الوسط الفرضي بزيادة واحد صحيح بالموجب لكل فئة تزيد عن الوسط الفرضي ، وبالسالب لكل فئة تقل عن الوسط الفرضي
- يتم ضرب الانحرافات × التكرارات ثم نوجد ناتج الجمع وباستخدام القانون نوجد المتوسط الحسابي
الفئات مراكز الفئات ( م ) التكرار ( ك ) الانحرافات ح
ح × ك

3- 4.5 2 -3
-3 × 2 -6
6- 7.5 4 -2
-2 × 4 -8
9- 10.5 5
-1
-1 × 5 -5
12- 13.5
9
صفر
صفر × 9 صفر
15- 16.5 4 1
1 × 4 4
18- 19.5 1 2 2 × 1 2
المجموع 25 - 13
مجـ ( ح × ك ) - 13
المتوسط الحسابي = الوسط الفرضي + × طول الفئة = 13.5 + × 3 = 11.94
مجـ ك 25
- كان من الممكن أن نأخذ أي مركز فئة كوسط فرضي ولكن عندما نأخذ مركز الفئة الوسطى بالجدول يكون أسهل في الحسابات لوجود سالب وموجب وعند الجمع يكون العدد الناتج صغير

المحاضرة الخامسة : تابع مقاييس النزعة المركزية
 الـوسيـط :
تعريفه : هو الدرجة التي تتوسط باقي الدرجات وتتميز بـ : عدد الدرجات الأقل منها يساوي عدد الدرجات الأكبر منها - تقع في منتصف التوزيع تماما
طرق حسابه : من مفردات ( درجات خام غير مرتبة ) - من بيانات مبوبة ( جدول تكراري ) - بيانيا
أولا : من مفردات
أ- عندما يكون عدد الدرجات فردي :
مثال : احسب الوسيط للدرجات الآتية : 3 ، 10 ، 2 ، 7 ، 4
عدد الدرجات أو المفردات = 5 ← فردي
- نرتب الدرجات تصاعديا أو تنازليا وليكن تصاعديا فتكون 2 ، 3 ، 4 ، 7 ، 10
- نحسب رتبة الوسيط من العلاقة ← رتبة الوسيط = ( عدد الدرجات الفردية + 1 ) / 2 = ( 5 + 1 ) / 2 = 3
- نحدد قيمة الوسيط حيث أن الوسيط هو الدرجة التي ترتيبها 3 ولذلك نجد الدرجة الثالثة في الترتيب التصاعدي هي 4 وهي قيمة الوسيط المطلوبة
ملحوظة : يوجد فرق بين رتبة الوسيط ( ترتيب الوسيط ) وقيمة الوسيط
ب- عندما يكون عدد الدرجات زوجي :
مثال : احسب الوسيط للدرجات الآتية : 3 ، 4 ، 2 ، 5 ، 6 ، 9
- عدد الدرجات أو المفردات = 6 ← زوجي
- نرتب الدرجات تصاعديا أو تنازليا وليكن تنازليا فتكون 9 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2
- نحسب رتبة الوسيط من العلاقة ← رتبة الوسيط = عدد الدرجات الزوجية / 2 = 6 / 2 = 3 وما يليها 4
- نعين قيمة الوسيط حيث أن الوسيط = الدرجة التي تتوسط الدرجتين الثالثة والرابعة في الترتيب أي المتوسط الحسابي للدرجة 5 والدرجة 4
الوسيط = ( الدرجة الثالثة في الترتيب + الدرجة الرابعة في الترتيب ) / 2 = ( 5 + 4 ) / 2 = 9 / 2 = 4.5
ثانيا : من جدول تكراري
مثال : معطى الجدول التكراري الآتي ، والمطلوب حساب الوسيط
الفئات 20- 25- 30- 35- 40- 45- المجموع
التكرارات 2 3 5 6 4 2 22
طريقة الحل : حساب ترتيب الوسيط من العلاقة : رتبة الوسيط = مجـ ك / 2 = 22 / 2 = 11
ثم إنشاء جدول تكراري متجمع صاعد أو نازل وحساب الوسيط من الجدول المتجمع باستخدام إحدى العلاقتين :
بداية فئة الوسيط + ( الفرق الخارجي / الفرق الداخلي ) × طول الفئة ← للجدول المتجمع الصاعد
الوسيط =
نهاية فئة الوسيط - ( الفرق الخارجي / الفرق الداخلي ) × طول الفئة ← للجدول المتجمع النازل

الفرق الخارجي في الصاعد = رتبة الوسيط - التكرار المتجمع الصاعد لبداية فئة الوسيط
الفرق الخارجي في النازل = رتبة الوسيط - التكرار المتجمع النازل لنهاية فئة الوسيط
الفرق الداخلي في الصاعد أو النازل = الفرق بين التكرارين المتجمعين الصاعدين أو النازلين لبداية ونهاية فئة الوسيط ← ( الأكبر - الأصغر )










رتبة الوسيط = 11 وهي محصورة بين التكرارين المتجمعين الصاعدين 10 ، 16
بداية فئة الوسيط في الجدول التكراري المتجمع الصاعد = 35
الوسيط بطريقة المتجمع الصاعد = 35 + ]( 11 – 10 ) / ( 16 – 10 )[ × 5 = 35 + 5 / 6 = 35.83
رتبة الوسيط = 11 وهي محصورة بين التكرارين المتجمعين النازلين 6 ، 12
نهاية فئة الوسيط في الجدول التكراري المتجمع النازل = 40
الوسيط بطريقة المتجمع النازل = 40 - ]( 11 – 6 ) / (12 – 6 )[ × 5 = 40 – 25 / 6 = 35.83
ثالثا : من التمثيل البياني
نقطة تقاطع المنحنيين التكراريين الصاعد والهابط تعطي على المحور الرأسي رتبة الوسيط ، وعلى المحور الأفقي قيمة الوسيط

 المنـوال :
تعريفه : هو الدرجة الأكثر شيوعاً وانتشاراً وتكراراً
طرق حسابه : من مفردات ( درجات خام غير مرتبة ) - من بيانات مبوبة ( جدول تكراري ) بطريقة الرافعة
أولا : من مفردات
مثال : احسب المنوال للدرجات الآتية : 3 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 4 ، 4 المنوال هو الدرجة الأكثر تكرار = 4
مثال : احسب المنوال للجدول الآتي :
هذا الجدول ليس جدول تكراري لأن ليس به فئات ( علامة الشرطة - ليست موجودة )
ولذلك نبحث عن أكبر تكرار فنجده = 3 والدرجة المقابلة له = 4 وهي المنوال
ثانيا : من الجدول التكراري بطريقة الرافعة
مثال : احسب المنوال من الجدول الآتي :
الفئات 2- 5- 8- 11- المجموع
التكرارات 3 4 5 3 15
طريقة الحل : نبحث عن الفئة المنوالية وهي الفئة صاحبة أكبر تكرار ومن الجدول السابق نجد أن أكبر تكرار = 5 يقابل الفئة 8 - وهي الفئة المنوالية ، ثم نأخذ الفئة السابقة والفئة التالية لها وهما 5- ، 11- وتكراراتهما 4 ، 3 على الترتيب ثم نرسم الرافعة الآتية :



ومنها نجد أن :
المنوال = بداية فئة المنوال + س
ولكي نوجد قيمة س نستخدم قاعدة الرافعة وهي :
القوة × ذراعها = المقاومة × ذراعها حيث أن القوى هنا تمثل التكرارات ، والأذرع تمثل أطوال الفئات
4 × س = 3 × ( 3 - س )
4 × س = ( 3 × 3 - 3 × س )
4 س = 9 - 3 س
4 س + 3 س = 9 ← 7 س = 9 ← س = 9 / 7
المنوال = بداية فئة المنوال + س = 8 + ( 9 / 7 ) = 8 + 1.29 = 9.29
س : حدد صفة منوالية بينك وبين زملائك الذين يختبرون معك الآن . الإجابة : الصفة المنوالية هي الدبلوم الخاص أو المادة الامتحانية ( إحصاء تربوي مثلا ) أو درجة صعوبة الاختبار حيث أن كل صفة مما سبق يشترك فيها جميع الزملاء ولذلك تكون بمثابة منوال لأنها الأكثر شيوعا وتكرارا وانتشارا مع العلم أنه يمكن أن يوجد منوال واحد أو أكثر من منوال أو أنه لا يوجد منوال

شكرا جزيلا